November 14

Alef nič

Neskončnost je bila dolga stoletja nedoločen, celo nedoločljiv religiozni pojem. Onkraj realne neskončnosti, bolj ali manj eksplicitno izenačene z Bogom (Descartes, Spinoza, Hegel idr.) in torej človeku nedostopne, so se bili matematiki in filozofi dolga stoletja prisiljeni omejiti na neskončnost kot »možnost«, kot postopek (neskončnega) zanikanja končnosti, kot teoretični konstrukt.

Matematika je vse do Georga Cantorja (1845-1918), ki je bil prvi, ki je neskončnost mislil matematično, govorila izključno o potencialni neskončnosti, ki izhaja iz ponavljanja določene unarne poteze onkraj vse predstavljive končne količine: 1, 2, 3, …, n, n+1,…, ∞. Vsak poskus obravnavati neskončnost kot kar koli več se je slej ko prej iztekel v paradoksalne in absurdne trditve. Zenonov paradoks je primer neskončnega deljenja časa in prostora; dva največja uma svojega časa, Galileo in Leibniz pa sta v neskončnost videla nevarnost za celotno aritmetiko: gre namreč za število, v katerem je  n enako n+1.

Aristotel je bil tisti, katerega rez je razrešil Zenonov paradoks in s tem postavil trend, ki so ga kasneje prevzeli Tomaž Akvinski ter drugi teozofi in ki je obveljal za naslednji 2 tisočletji. Poznamo ga pod izrazom »horror infinitum«: deljenje v neskončnost je sicer mogoče v principu, vendar v resnici do njega nikdar ne pride. Neskončnost v realnem svetu ni nič več kot možnost. In na nek način lahko rečemo, da je zgodovina matematike postopno rušenje te zmote.

Prvi korak v tej smeri so vsekakor napravili že Pitagorejci s teorijo ulomkov in odkritjem iracionalnih števil. Verjeli so, da je vso realnost mogoče opisati z izmerljivimi vrednostmi, torej s celimi števili bodisi z njihovimi ulomki. Problem nastane z ugotovitvijo, da diagonala kvadrata s stranico 1 po Pitagorovem izreku meri √2=1.4142135… Kvadratni koreni praštevil so iracionalna števila z neskončnimi, neperiodičnimi decimalkami, ki jih ni mogoče zapisati kot ulomke katerih koli celih števil. To je bilo prvo srečanje z vprašanjem geometričnega kontinuuma oz. »številske vrste«; obstoj iracionalnih števil je bil prvi znak, da vseh možnih števil med dvema celima številoma ni mogoče prešteti; ali drugače, da bijektivna preslikava med množico racionalnih in realnih števil ni mogoča.*

Matematika se je lahko za Aristotelovim »strahom« skrivala le tako dolgo, dokler sta bili aritmetika (znanost o diskretnih vrednostih) in geometrija (znanost o kontinuiranih vrednostih) striktno ločeni in med seboj neodvisni. Descartesova algebraizacija geometrije je načela klasični intuitivni pristop h geometriji in ga nadomestila s čistim numeričnim opisom oblik in krivulj. Če vprašanje o številu točk na daljici do sedaj ni bilo matematično smiselno, saj daljici kot kontinuirani vrednosti, celoti, ki ni sestavljena iz delov, ni mogoče prirediti števila (razen dolžine), je z Descartesom numerični opis prostorskega kontinuuma postal konceptualna možnost.

Infinitezimalni račun – opis oblike kontinuiranih reči (gibanje, ukrivljenost) v numeričnih terminih – je bil naslednja logična stopnica. Temelji na »uporabni fikciji« infinitezimalnih števil: imaginarnih številih (ne tistih Imaginarnih!), ki so neskončno manjša od kateregakoli zamisljivega realnega števila in ki omogočajo opis dolžine neskončno majhnih odsekov, ki tvorijo krivuljo. Aritmetični opis kontinuuma je tako postal realnost; toda kot realnost še vedno vse preveč abstraktna in na videz nekoherentna, da je ne bi sodobniki ostro kritizirali in na koncu izmuzljiv pojem  infinitezimalnega števila zamenjali z lažjim konceptom številske limite, proti kateri se nagiba neskončni niz. Neskončnost se tako vrne v svoji potencialni različici: Gauss denimo smatra pojem dejanske neskončnosti za zgolj »frazo«.

V začetku 19. stoletja se je pričela rojevati nova oblika geometrije. Klasična evklidska geometrija je zgrajena na postulatu, da so točke, premice, liki itd. idealizirana realnost sveta okoli nas (Descartes, Galileo, Newton, Kant idr.). Evklidov peti postulat, da se vzporedne premice nikdar ne sekajo, je bil evidentno dejstvo tako v matematičnem, kot tudi v vsakdanjem razumevanju prostora. Kljub temu se je po številnih poskusih izkazalo, da je nemogoče razviti končni dokaz za resničnosti postulata; leta 1868 so dokončno potrdili, da ga ni mogoče neposredno izpeljati iz ostalih aksiomov.

Ob istem času so Lobachevsky, Bolyai, Reimann in drugi uspeli dokazati obstoj popolnoma koherentnih, a hkrati povsem neintuitivnih neevklidskih geometrij, sestavljenih v prostoru z n-dimenzijami. Iz česar je seveda sledilo spoznanje, da je koncepcija prostora, v katerem postulat o vzporednicah drži, zgolj ena izmed mnogih.** Aksiomi geometrije niso več samorazvidna dejstva, ki bi temeljila na realnem, homogenem, fizičnem prostoru, temveč povsem relativne postavke določenega modela prostora. Kar ima daljnosežne posledice ne zgolj za razumevanje koncepta prostora in njegove reprezentacije; pod vprašaj postavi tudi splošno sprejeto idejo o matematiki, ki je v zadnji instanci vselej utemeljena v (abstrahirani) reprezentaciji in opisu matematične strukture samega univerzuma.

Pojavi se potreba po iskanju novih temeljev za matematiko: če ne na materialni realnosti, na čem torej temeljijo matematične resnice in kaj jih kot take ščiti? Nekateri so odgovor iskali v številu. Kroenecker denimo zapiše: »Cela števila so delo Boga. Vse ostalo je delo človeka« – in torej dvomljivo. A vendar tudi število ne razreši nekaterih temeljnih paradoksov. Je število sploh koherenten koncept? Že Galileo je vedel, da je moč množico kvadratov naravnih števil bijektivno preslikati v množico naravnih števil (ali drugače, da je naravnih števil toliko, kolikor je njihovih kvadratov); iz česar je sklepal, da sam pojem števila izgubi koherenco, ko se približuje neskončnosti. Ideja dejanske, izmerljive neskončnosti in s tem možnost različnih velikosti neskončnosti je bila absurdna. Dokler se v ta nesmisel ni podal Georg Cantor.

(Zapis ima nadaljevanje.)



* »Štetje« seveda ni nič drugega kot bijektivna preslikava dane množice v množico naravnih števil, pri čemer vsakemu elementu množice pripišemo natanko eno naravno število.

** Evklidska geometrija pomeni prav to: geometrijo, v kateri peti postulat drži; v nasprotju z neevklidsko, kjer ne drži, ali nevtralno/absolutno geometrijo, ki je od njega neodvisna (tj. priznava zgolj prve štiri postulate).


Tags: , ,

Posted November 14, 2012 by Žiga in category "Številka