December 24

Alef ena

(Zapis je nadaljevanje.)

Prispevek Georga Cantorja je matematičen opis neskončnih števil kot števil. Neskončnost seveda ni izmerljiva na isti način, kot so izmerljiva končna števila; kljub temu pa je Cantorju uspelo pokazati, da je koncept številskega zaporedja ravno tako koherenten, ko je govora o dejanski neskončnosti. Kar pomeni, da je popolnoma upravičeno govoriti o velikosti (kardinalnosti) različnih neskončnih kvantitet; neskončnost, ki je primerljiva, pa jasno ni ne absolutna, ne potencialna.

Preprosta definicija množice je, da gre za zbirko (do)ločenih objektov, vzetih kot celota. Cantor je uvidel, da ni potrebno dejansko prešteti števila elementov, da bi lahko o njih razmišljali kot o celoti, množici (čeprav se je držal ideje, da bi preštetje tudi neskončnih množic vseeno bilo mogoče za neskončno sposobnega števca). Njegova sprega med pojmom neskončnosti in teorijo množic – kar nosi ime transfinitna teorija množic – neskončnosti podeli dejanski, zaključen status; status celote, natančno, množice.

Po analogiji z ločnico med ordinalnimi (vrstilni števniki) in kardinalnimi števili (osnovni števniki), se kardinalnost množice nanaša na njeno velikost oziroma »moč«, ordinalnost množice pa na način, kako je urejena oziroma šteta (od nič naprej). Dokler smo na področju končnih števil/množic, je to seveda eno in isto, kajti vsako končno število je lahko šteto le na en in isti način: Neskončne množice pa lahko štejemo na različne načine, kar preprosto pomeni, da razmerje med njihovo ordinalnostjo in kardinalnostjo ni očitno. To je tudi natanko tisto, kar definira in loči neskončno množico od končne – da jo lahko bijektivno preslikamo v eno od njenih podmnožic. Lep primer tega neintuitivnega dejstva je množica naravnih števil, ki je »sestavljena« iz množice sodih in množice lihih števil; kljub temu pa je vsakemu elementu (pod)množice sodih števil mogoče prirediti natanko en element množice naravnih števil (čemur, kot smo že omenili, sicer običajno rečemo štetje).*

1       2       3      4        5     6
↓       ↓       ↓      ↓       ↓      ↓
2       4       6        8      10    12

Z naslednjim dokazom je Cantor pokazal, da množica vseh možnih ulomkov med poljubnima celima številoma ni nič bolj neskončna kot množica naravnih števil; kar je bilo do tedaj za matematike nezamisljivo, to pa zaradi preproste opazke, da lahko med katera koli dva ulomka vselej postavimo še tretjega, kar za naravna števila ne velja. Kljub temu je Cantor s presenetljivo enostavno demonstracijo dokazal, da je tudi racionalna števila mogoče (vsaj v teoriji) prešteti.

Razporeditev racionalnih števil na način, ki omogoča njihovo preštetje.

Vsaka množica, ki jo lahko postavimo v korespondenco z množico naravnih števil, je torej preštevna, denumerabilna. Vse neskončne preštevne množice imajo zato enako kardinalnost/velikost. To najmanjše neskončno kardinalno število je Cantor poimenoval alef nič. **

Ali to pomeni, da so preštevne vse neskončne množice? Ali obstaja še kakšna neskončnost poleg te? Tu se pravzaprav začnejo težave. Odkritje iracionalnih števil je pokazalo na obstoj števil, ki jih ni mogoče reprezentirati z ulomkom in ki torej tvorijo nekakšne praznine, luknje v numeričnem kontinuumu. Gre za problem, ki ga je Cantor podedoval že od prejšnjih poskusov aritmetizacije geometrije: dejstvo, da preštevna vrsta racionalnih števil ne tvori izčrpnega številskega opisa linearnega/geometričnega kontinuuma in da torej ne more prešteti vseh točk na daljici. Za prvi cilj si je Cantor zadal poiskati aritmetično definicijo množice števil, ki bi lahko zastopala število točk na neprekinjenem kontinuumu. In njegov največji dosežek je dokaz, da ta množica (to je, množica realnih števil) ni preštevna. Realna števila predstavljajo popolnoma drugo vrsto neskončnosti kot racionalna; natančneje rečeno, so neskončno bolj številna kot neskončna množica racionalnih števil.

Množica racionalnih števil ne tvori kontinuuma: ne glede na to, kako gosto jo poskušamo prešteti, bodo zaradi diskretne narave štetja vmes vselej vrzeli, luknje, ki jih predstavljajo iracionalna števila. Velikost kontinuuma, to nepreštevno število ki vključuje vsa realna števila, je Cantor poimenoval c. Z nadaljnjim dokazom je pokazal, da kardinalnost c velja tudi za vsak segment kontinuuma, ne glede na njegovo velikost (premica, daljica, ravnina, prostor,…).

Obstajata torej vsaj dve različni vrsti matematične neskončnosti, pri čemer je druga neskončno večja od prve. Iz N0 (alef nič) lahko z osnovnimi postopki teorije množic, najbolj očitno preko aksioma o potenčni množici, generiramo neskončno zaporedje nadaljnjih neskončnih množic. Aksiom o potenčni množici pravi, da lahko za vsako množico z velikostjo n generiramo večjo potenčno množico, ki obsega vse podmnožice dane množice in ima natanko 2n elementov (torej, množica s tremi elementi ima 8 različnih podmnožic) – dokler govorimo o končnih množicah, lahko ta presežek zmerimo brez težav. Večjo težavo predstavljajo neskončne množice, pri katerih je presežek neskončno večji od neskončnosti, s katero smo začeli. Tako s progresivno uporabo aksioma o potenčni množici dobimo zaporedje neskončnih števil, kjer je vsako naslednje neskončno večje od predhodnika: N0, 2N0, 2N1 itd. Cantor je tudi pokazal, da lahko potenčno množico množice N0 bijektivno preslikamo v nepreštevno velikost kontinuuma c, torej da je 2N0 = c.

S tem so prišli do ključnega vprašanja, ki nosi slovito ime hipoteze o kontinuumu. Kakšno je pravzaprav razmerje med prvim in najmanjšim neskončnim številom N0 in njegovo potenčno množico 2N0 (ali c)? Je potenčna množica neposredni naslednik N0, tj. naslednje kardinalno število na transfinitni lestvici – torej N1 (alef ena); ali pa morda med njima obstaja še kakšna tretja, še neodkrita kardinalnost? Hipoteza o kontinuumu predpostavlja, da je N1 (kardinalnost množice realnih števil) najmanjša naslednja stopnja neskončnosti za kardinalnostjo množice racionalnih števil, da je N1 = 2N0 = c.***

Cantor je bil prepričan, da je ta na videz plavzibilna hipoteza resnična ter da predstavlja temelj nekakšnemu redu in stabilnosti znotraj transfinitnega. Če namreč hipoteza o kontinuumu drži, lahko za vsako neskončno množico rečemo, da je »dobro urejena« – namreč, da posamezni elementi neposredno sledijo iz njihovega predhodnika po določenem ključu. Kar izgleda kot potencialno anarhičen koncept nepreštevnega mnoštva, izhaja neposredno iz kardinalnosti preštevne množice naravnih števil. V naprotnem primeru, v kolikor hipoteza ne drži, pa obstaja vsaj eno neskončno število 2N0, kateremu ni mogoče določiti mesta v kumulativni hierarhiji.

Na svojo največjo grozo pa Cantorju hipoteze o kontinuumu ni uspelo dokazati. Mnogo kasneje, leta 1963 je Paul Cohen pokazal, da izpeljava naslednika ni povezana z aksiomom potenčne množice; ali je zaporedje neskončnih kardinalnih števil N0, N1, N2 itd. identično z eksponentno serijo N0, 2N0, 2N1itd., ali ne, preprosto ni določljivo. Do danes je hipoteza o kontinuumu ostala v središču matematičnega razmišljanja in ogrodje delitve med različnimi teorijami o naravi matematike.

Še ena pomembno vprašanje izhaja iz povedanega: Cantorjeva definicija množice ne odgovori na vprašanje, ali je množica, če uporabimo Russellove izraze, intenzionalna ali ekstenzionalna: pri čemer prvi pomeni množico kot zbirko objektov, ki ustrezajo določenemu predikatu ali konceptu (Slovenci, naravna števila itd.), drugi pa množico kot rezultat poenotenja že obstoječih elementov, ki lahko nosijo skupne lastnosti, ali pa tudi ne (vsi, ki beremo pričujoče vrstice; vse, kar se ujame v ribiško mrežo itd.). Intenzionalnost predpostavlja primarnost koncepta glede na njegovo aplikacijo – oziroma množice glede na njene elemente ( npr. koncept trojnosti – vse kar je iz treh elementov ipd.); ekstenzionalnost pa začenja od spodaj navzgor in vidi množico kot posledico, rezultat združevanja nekega mnoštva elementov.

V sodobni matematiki prevladuje ekstenzionalni pristop predvsem iz enega razloga: Russell je z znamenitim paradoksom o množicah, ki pripadajo same sebi, pokazal na inherentno ranljivost sleherne teorije množic, ki poskuša definirati sam pojem množice. Če namreč obravnavamo množice kot intenzionalne, se moramo soočiti tudi s povsem smiselnim razlikovanjem med tistimi lastnostmi, ki vključujejo same sebe in tistimi, ki se ne: npr. množica abstraktnih objektov je tudi sama abstraktni objekt, množica vseh množic z več kot tremi elementi ima tudi sama več kot tri elemente ipd.; na drugi strani pa množica vseh jabolk sama seveda ni jabolko in torej ne pripada sama sebi. Russell na tem mestu izpostavi vprašanje, kaj je potemtakem z množico vseh množic, ki niso element same sebe? Je takšna množica element same sebe ali ne? Vprašanje je homologno vprašanju, ali brivec, ki brije vse moške v vasi, ki se ne brijejo sami, brije tudi sam sebe? Na zastavljen paradoks seveda ni logičnega odgovora, toda temeljni aksiomi intenzionalne teorije množic nam preprečujejo, da bi preprosto rekli, da taka množica ne obstaja – saj vendar obstaja njen koncept.

V odgovor na opisano težavo se je odzvalo celo mnoštvo teorij. Večina matematikov (Zermelo, Fraenkel, Hilbert,…) se je problema lotila z aplikacijo aksiomatskih principov neposredno na množice same, ne zgolj na logiko oziroma postopke, s katerimi jih generiramo. Zgolj ta pot, ki je postala znana kot aksiomatska teorija množic je omogočila izognitev logičnim paradoksom. Obstaja pa še en problem, podoben temu, ki ga je nakazal Russell. Že dosti pred Cantorjem sta se Galileo in Leibniz zavedala, da »število, ali množica, vseh števil vsebuje kontradikcijo, če ga razumemo kot zaključeno celoto.« K podobnemu zaključku je vodila tudi Cantorjeva teorija: vsak poskus definicije množice vseh množic vodi neposredno v paradoks, že zato, ker o nobeni množici ne moremo govoriti, ne da bi hkrati predpostavili obstoja njene potenčne množice – ta bi potemtakem morala biti vključena v množico vseh množic; a hkrati je eden izmed Cantorjevih temeljnih teoremov trdil, da je potenčna množica p(x) množice x vselej večja od x.

Soočen s tem paradoksom je Cantor ločil normalne oziroma »konsistentne« neskončnosti (transfinitno kot tako), ki so dovzetne za numerično obdelavo, in »nekonsistentno« neskončnost, ki leži onkraj področja števil in zato za vedno izven človeškega dosega (absolutna neskončnost). Ta je definirana kot nedostopna in ni del običajnih hierarhij števil; še več, na njej število niti ni več konsistentno. Ali drugače, množica vseh množic ni množica in je ni mogoče koherentno urediti v celoto. Sam Cantor je absolutno neskončnost pripisal božanski transcendenci – vendarle ni zmogel iz svojega časa. Njegovi nasledniki pa so to nekonsistentno limito, to mesto, kjer število postane preveliko za matematično teorijo, vendarle hoteli nekoliko bolj natančno umestiti. To je postalo znano kot »hipoteza o omejitvi velikosti«. Von Neumannova je bržkone najpreprostejša: množica je prevelika, če je ekvivalenta množici vseh stvari. Noben v vrsti poizkusov pa ni bil popolnoma uspešen in natančna demarkacija med konsistentnimi in nekonsistentnimi množicami ostaja nejasna.


* Zgodba o neskončnem hotelu Davida Hilberta gre v ponazoritvi še en korak dlje: zamislite si hotel z neskončno mnogo sobami, v katerem so vse sobe zasedene, vanj pa se želi prijaviti neskončno mnogo novih gostov. Rešitev zagatne situacije je presenetljivo preprosta: vodstvo naj preprosto prosi vse goste, da številko svoje sobe (od 1 proti ∞) pomnoži z 2 in se preseli v sobo, ki nosi tako dobljeno številko. Gost v sobi 1 se seli v sobo 2, gost v sobi 2 v sobo številka 4 itd. Tako izpraznimo vse lihe sobe, ki jih je seveda neskončno mnogo: ravno dovolj torej, da hotel sprejme vse nove prišleke – in še drugič pobere neskončne dobičke. (No, ne pozabimo pa, da so tudi stroški takšnega hotela neskončni.)

** Alef je prva črka hebrejske abecede, s simbolom א, ki pa jo bomo v nadaljevanju vsled nepojasnjenim tehničnim težavam s prikazovanjem matematičnih znakov pisali kot običajen N (N0, N1).

*** Oziroma, v splošnejši obliki Nx+1 = 2Nx.


Tags: ,

Posted December 24, 2012 by Žiga in category "Številka